Mathematics book recommendation

"There is no royal road to mathematics". 시중엔 다양한 수학책이 있다. 그 중에서 내가 가장 싫어하는 타입은 '멀리 바라보지 않고 당장 어떤 필요한 것을 얻으려고 흐지부지 증명하거나 증명을 뒤로 미루는 것이다.' 물론, 연구를 하는데 있어서는 대부분 이런식이겠지만, 학습을 하는것과 연구를 하는 것은 어느정도 구분되어야 한다는것이 나의 철학이다. 어떤 정리의 증명을 할수 없다는 것은 아직 그 정리를 내가 사용할 준비가 되지 않았다는 것 아닌가?

아래 책 list는 나의 이런 철학을 따르는 지극히 주관적인 좋은책 목록이다.

*동일 제목의 책이 학부용/대학원용 두가지가 있다면, 주저말고 대학원용을 보는걸 추천. 나도 학부때 전부 대학원용 책을 봤다. 대학원용책이 훨신 더 좋다. 

추천 순서는 배워야할 순서대로 나열하였다.

Set Theory

1. (Introduction to) Set theory - Jech

초심자라면 introduction이 붙은 것을 보고, 한번이라도 naive set theory를 배웠었다면 그냥 set theory를 볼것을 추천. 하지만, 한국에선 대부분이 Pinter의 책을 쓴다. 현대수학의 standard한 공리계는 ZFC이며 Jech는 이를 따른다. Pinter는 NBG란 공리계를 따른다. ZFC는 set 이란 오직 하나의 명사술어 밖에 없는 반면, NBG는 set,class 두개의 명사술어를 사용한다. 각자의 이점이 있으나, 우리가 수학에서 고려하는 대상은 오직 set뿐이기에 ZFC가 axiomatic set theory를 하기엔 훨신 깔끔하다. (Caution: "어떤 set으로만 이루어진 명제가 ZFC에서 증명될수 있다면 NBG에서도 증명될수 있고 그 역도 성립한다"는 것을 증명할 수 있다. 고로 이 두개의 논리계는 사실상 set만 고려한다면 완벽히 똑같다.) 책 내용 외로, 자연수로 부터 정수, 유리수, 실수, 복소수를 어떻게 construction 하는지 알고, least upper bound property를 가지는 ordered field는 실수가 유일(up to isomorphism)한 것과, archimedean property를 가지는 cauchy complete ordered field도 실수가 유일(up to isomorphism)한 것을 공부하자. 왜 우리가 굳이 실수라는 수체계를 사용하는지에 대한 답을 얻을 수 있다.

General Topology

보통 학부에 처음 들어오면 미적분과 선형대수를 배우나, 나는 1학년때 집합론과 위상을 배워야 한다고 생각한다. 보통 누군가 수학을 한번 공부해보고 싶다하면 처음 건드리는게 기초 해석학인데, 과감히 위상수학을 먼저 배울것을 추천한다.

1. Munkres - Topology

완벽한 책이다. General topology부분만 우선 공부하고 Algebraic topology 단원은 나중으로 미뤄둘 것.

2. Hocking & Young - Topology

상당히 어려운 위상수학 책이다. 1번을 끝내고 더 공부하고 싶다면, 이책을 볼 것.

Basic Analysis

1. Rudin - Principle of mathematical analysis

루딘책은 굉장히 깔끔하다. 하지만, 해석학으로 초점을 국한 시키려는 단점이 있다. General topology를 공부하고 이 책을 본다면 상당히 괜찮다. Chapter 8 까지만 볼 것. 그 뒤부터는 굉장히 안 좋다.

Linear algebra

1. Friedberg - Linear algebra

상당히 좋은 책이다. 선형대수학은 공학도가 많이 사용하기에 대부분의 시중의 책이 수학과스럽지 않게 써지는 경향이 있는데, 이 책은 수학과용.

2. Hoffman&Kunze - Linear algebra

많은 사람들이 이 책이 좋다고 하는데, 추천하지 않는다. 하지만, 1번 교재를 주교재로, 이 교재를 부교재로 병행해라. 1번 교재에 없는 내용은 버리되, 1번 교재에 있는 내용이 이 책에도 있다면, 그 내용을 꼭 공부하는걸 추천. Determinant를 commutative ring 위에서 정의할 수 있다는 걸 아는 것이 가장 중요하다.

Elementary number theory

1. Weil - Elementary number theory

말이 필요없다. 무조건 다 읽어야 한다.

2. Burton - Elementary number theory

1을 읽고 이 책을 보자. 다 읽을 필요는 없고 요령껏 본다. Euler-phi function의 성질, Möbius inversion formula, Legendre symbol과 quadratic reciprocity law 정도까지만 공부하자. 그리고 abstract algebra로 넘어가서, 다시 본질적으로 왜 기초정수론에서 저런것들이 성립할수 밖에 없었는가에 대해 생각하면서 공부하자. 그렇다고 정수론을 아예 모르고 추상대수는 할 수 없으니, 위에 명시한 저정도는 알고 추상대수를 공부하자.

Abstract Algebra

1. Lang - Algebra

잘못 배우기 제일 좋은 과목이 대수다. 처음 배우는데 있어 가장 중요한 것은 polynomial ring의 정의를 정확히 아는 것이라고 생각한다. Indeterminate를 어떻게 정의하는지 아는 것이 중요하다.  보통 학부책에선 indeterminate를 정의하지 않는데, 굉장히 잘못 됐다고 생각한다 (극히 주관적임). Function space로서 commutative polynomial ring을 모델링 할수 있다는 것을 알고, Tensor algebra를 이용해 noncommitative polynomial ring을 모델링 하는 방법에 대해 생각해 보자. 

초반의 Group,ring,field,module,tensor 까지만 보고 스탑. 뒷부분은 나중에 해도 된다. 이 시점에선 아직 초석을 닦을 길이 멀다.

2. Dummit & Foote - Algebra

1과 병행하자. Lang이 어렵다고들 하는데 전혀 그렇지 않다. 랑은 굉장히 친절한 책이다. 이책을 병행하라고 하는 이유는 이 책이 더 친절해서라 아니라, 랑에 없는 내용이 이 책에 있고 이 책에 없는 내용이 랑에도 있기 때문.

Algebraic topology - 1

왜 복소해석학이 계속 나오지 않는지 의구심을 품는 사람이 있을텐데, 복소해석학에서 line integral은 굉장히 중요한 툴인데, 이는 homotopy의 영향을 아주 심하게 받기 때문이다. 정확히 homotopy가 line integral에 어떻게 작용하는지 알기 위해선 algebraic topology를 알아야 한다고 생각한다.

1. Munkres - Topology

위에서 미뤘던 algebraic topology단원을 homology 전 까지 공부해라. 그 뒤는 다른 책이 더 좋고, 아직은 homology를 공부하기엔 이르다. 중요: Hatcher책에서 굉장히 일반화된 homotopy lifting lemma를 보고 증명하자. 증명하라고 말하는건 Hatcher책에 proof idea만 주고 증명은 없기 때문. 난 이때 하루종일 걸렸다.

Multivariable analysis

1. Cartan - Differential calculus

학부용 함수해석학 책인데, 굉장히 엄밀한 책이고 학부 고학년~대학원 초년이 읽기에 적합하다. 파트 1, 파트 2가 있는데 파트1만 보는걸 추천. 파트2는 미분방정식이다. Banach space에서의 Fréchet derivative, Schwarz rule, open mapping theorem, inverse function theorem, implicit function theorem 등등을 아는 것이 중요. 

(주의: 이 책은 모든 함수의 domain을 open set으로 두나, 더 확장 시켜서 읽어야 한다. A가 Banach space의 subset일때, 모든 A의 원소가 A의 limit point인 집합일때, 이를 @-set 이라고 하면, 이 책에 나와있는 모든 정리를 @-set위에서도 되는지 확인하면서 읽자. 대부분 정리가 이 @-set으로 확장되나, inverse function theorem은 할 수 없을 것인데, 이는 나중에 differential topology를 배우면 whitney extension theorem으로 @-set에서 성립함을 보일 수 있다. 물론 굉장히 어려움. @-set으로 두고 읽으라는 것은 나중에 differentiable manifolds를 공부할때 corner의 개념을 자연스럽게 도입하기 위해서이다.)

Complex analysis

1. Conway - Function theory of one complex variable 1

복소해석학 역시 공학도가 많이 사용하기에, 시중의 책이 대부분 수학과스럽지 않다. 그리고 대부분 Green's theorem을 이용해서 cauchy's theorem을 증명하는데, 이는 모순이다. 코시는 자신의 논문에서 Green's theorem을 사용하여 cauchy's theorem을 증명했지만, 그 당시 그린정리가 참인지도 몰랐기에, 코시는 다음 논문에 그에 대한 증명을 하겠다고 해놓고 죽을때까지 그에 대한 증명을 출판하지 않는다. Green's theorem은 만만한 정리가 아니라 굉장히 깊은 정리고, 여기서 이를 증명할수 있는수준이 아니다. (jordan curve theorem을 모르면, 이 정리를 state조차 할 수 없다. 내가 말하는 증명은 아주 엄밀하고 완벽한 증명을 말한다.) Conway책은 그린정리를 사용하지 않고, 오로지 Leibniz rule로서 복소해석학으로의 길을 연다. 

보통 Ahlfors의 책을 바이블로 여기는데, conway는 더욱더 엄밀하게 대부분의 Ahlfors의 내용을 커버한다. 주저하지 말고 conway를 읽을 것을 추천.

Rudin-PMA에서 배웠던 Riemann-Stieltjes integral의 integrator를 monotonically increasing function에서 bounded variation으로 확장하는 방법도 나와 있다.

Real Analysis

1.Folland - Real analysis, Rudin - Real and complex analysis, Royden - Real analysis (4th-edition), Bressoud - A radical approach to Lebesgue's theory of integrationsome webpages, 

절대 Rudin을 먼저 보지 않을 것을 추천. Rudin은 Abstract measure theory부분이 굉장히 약하다. 그리고 다른 책에서의 증명을 정의로 갖다 붙이는 것이 다반수.

로이든 "4판"과 폴랜드를 병행하며 abstract measure theory의 기초를 먼저 배우자. (4판 인게 중요. Abstract measure가 로이든에서 파트2에 있으나, 파트1 모른다고 겁먹지 말고 바로 파트2를 먼저 보자.) (Semi-)Ring of sets와 sigma algebra의 관계와 Hahn-Caratheodory extension theorem을 아는것이 중요. 그리고 Pi-Lambda theorem을 구글링 해서 따로 공부할 것. 여기까지 공부 했다면, Half open cube들이 semi-ring을 이룬단 것을 바탕으로 Borel algebra on R^n 을 domain으로 갖는 lebesgue measure의 존재성을 보이고, Pi-Lambda theorem으로 유일성을 보이자. 그리고 Bressoud의 책으로 Lebesgue measure의 기본적 성질에 대해 공부하자. 여기까지 했다면, 폴랜드을 주교재로 루딘을 부교재로 병행해서 공부하자.

대부분 학교에서 Stein을 교재로 쓰는데, pde전공할거 아닌이상 이 책의 이점을 전혀 모르겠다. (개인적으로 Stein princeton lecture series 다 싫어하는데, complex analysis는 좋은것 같다. 그래도 harmonic analysis책(이건 princeton lecture series아님)은 stein이 제일 좋은것 같기도)

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여기서부터 이제 다른 관점의 수학을 공부해야 한다. 난 이 구간이 굉장히 힘들었다. (현재진행형)

Category theory

1. Tom Leinster - Basic Category theory

무거운 마음으로 공부하지 말고 가볍게 쭉 한번 끝까지 정독하는걸 추천. 대충 카테고리가 무엇인지 알게 된다. Adjoint functor theorem, Yoneda embedding을 아는 것이 중요.

2.  Borceaux - Handbook of categorial algebra 1,2,3

진짜 카테고리이론 공부의 시작. 1,2,3을 정독하길 추천

보통 Category theory for working mathematician을 처음으로 category theory를 공부하는데, Borceaux가 훨신 깔끔하고 엄밀해서 더 괜찮다고 본다.

3.(very optional) Swan- Algebraic k-theory

이 책의 맨 앞쪽에 있는 Mitchell embedding theorem에 대한 증명를 보고 싶다면 보자. 하지만 Borceaux에서 abelian category에서의 diagram chasing을 공부할수 있기에, 사실 Mitchell embedding theorem은 homological algebra를 하는데 있어, 전혀 중요하지 않다. (이는 내 생각이 아닌, 저명한 수학자 Co*ra* 의 말이다. 나는 아직 homological algebra에 초심자기에 뭐라 말할수 없다.)

Homological algebra

1. Weibel - Homological algebra

Algebraic topology - 2

1. Rotman - Introduction to algebraic topology

보통 Hatcher를 바이블로 생각하나, 난 여러가지 이유로 Hatcher를 싫어한다. 위의 책 목록이 맘에 들었다면 나와 같은 생각을 할것이라 생각. Intuition도 이 책이 훨신 낫다.

2. Tom Dieck - Algebraic topology

1과 병행하자. 굉장히 특출난 학생들만 읽어야 된다는 소리가 있는 책인데, 책을 여러개 병행하는 내 특성상 여기서 모르면 저기서 보고.. 그러기에 딱히 어렵단 느낌은 못 느꼈다. 특히 singular homology의 excision 증명은 이 책이 제일 깔끔하더라.

2. Munkres - Algebraic topology

1과 병행하자. Simplicial homology를 구체적으로 계산하는 complete sterategy를 배울 수 있다. (물론 finite개의 patch에 대한것에 대해)

3. Hatcher - Algebraic topology

가끔 몇몇개는 해처의 증명이 위의 책들보다 훨신 괜찮은 것들이 있다. 그런 것들만 체크 해가며 보자. 이 책에서는 아무도 사용 안하는 delta-complex로 homology를 처음 시작하는데, 굉장히 짜증스러운 부분이다. 나중에 simplicial set과 delta set을 배우고 Realization으로서 다루는게 훨신 좋다고 생각하기에, 이 책은 나와 맞지않다.

Manifolds

1. John M. Lee - Topological manifolds

2. Margalef - Differential topology

정말 힘들게 찾은 아주 괜찮은 책. Euclidean manifold가 아닌 Banach manifold로 시작한다. 또한 John M. Lee는 smooth manifolds책에서 그냥 manifold로 시작하고 manifolds with boundary로 확장하고 manifolds with corner로 확장하는 반면에, Margalef는 처음부터 manifolds with corner로 시작한다. 

Commutative algebra

아직 공부 안해봄

Algebraic geometry

아직 공부 안해봄

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