이런건 사실 다 짜맞춰보면 풀립니다. 무슨 소리냐 하면..
(E_gamma를 편의상 E'으로 쓰겟습니다)
E'=E-E'^2/2Mc^2에서 이를 E'에 대한 이차방정식으로 보고 풀면 E'= -Mc^2+Mc^2*sqrt(1+2E/Mc^2)이 나오는데(E'은 양수이니 플러스 부호를 택해야합니다), 뒤에 루트항을 이항근사 취해주면(이는 곧 테일러근사이기도 합니다) 우리가 원하는  E=E'이 나옵니다.
그러면 이제 이항근사를 취할수 있는가를 생각해봐야하는데, 저 근사의 조건은  2E/Mc^2<<1이죠. 넘기면 E<<Mc^2/2인데, 이것의 물리적 의미를 생각해보면 transition energy가 원자 전체 질량에 해당하는 에너지보다 매우작다는 뜻이 됩니다. 그리고 이는 타당하죠. (핵폭탄을 생각해봅시다) 그러므로 이항근사를 도입할 수 있고, E=E'라 할 수 있겟습니다