오랜만에 다시공부. 누군가 이러한 질문 올렸길래 씁니다.
[ 실수의 정의 ]
일단 ray 라는 개념을 알아야 한다. 유리수집합 Q 의 부분집합 U 에대해 다음이 성립될때, U 를 Q의 ray 라고 부른다.
1. x in U 이고 y > x 이면 y in U 가 성립함. ( 즉 x 가 U 의 원소인 유리수면 x 보다 큰 유리수는 모두 U의 원소이다.)
2. U 안에서 가장 작은 원소는 없다. ( 즉 x 가 U 의 원소이면 x보다 작고 U의 원소인 유리수 y 가 반드시 존재한다.)
ex) { x in Q | x > 3 }, { x in Q | x > pi }, { x in Q | x > e }
여기서 눈치가 좀 있다면 각 ray 는 우리가 직관적으로 알고 있는 실수와 1대1 대응된다는 것을 알 수 있다. (예시를 보면 명확할 것이다.)
따라서 해석학에서는 실수를 Q의 ray 로 정의한다.
[ 실수에서 연산의 정의 ]
이제 실수 U, V 에 대해 다음과 더하기(+)와 곱하기(*)를 정의한다.
여기서 이렇게 정의하면 교환법칙, 역원 같은 우리가 상식적으로 생각하는 개념에도
부합한다는 사실을 증명하는 것도 중요하지만 분배법칙 증명하는데는 필요없으므로 생략.
( ` 는 여집합 입니다. )
U + V = { u + v | u in U, v in V }
U * V =
{ u * v | u in U, v in V } -- if ( 0 not in U, 0 not in V) <== 간단하게 이해하고자 하면 이부분만.
{ r in Q | r > u * v for u in U, 0 < v in V` } -- if ( 0 in U, 0 not in V)
{ r in Q | r > u * v for 0 < u in U`, v in V } -- if ( 0 not in U, 0 in V)
{ r in Q | r > u * v u in U`, v in V` } -- if ( 0 in U, 0 in V)
[ 분배법칙 증명 ]
위 정의를 이용하면 실수 U, V, W 에 대해 다음과 같이 분배법칙이 성립된다.
( 0 not in U, 0 not in V 인 경우만 보이겠다. 나머지는 직접 해보자. )
u, v, w 는 실수로 정의된 Q의 ray의 원소로 유리수임에 유의하자.
즉, Q의 ray 라는 개념을 통해 실수를 유리수를 이용해 정의하고,
유리수에 대해 분배법칙이 성립한다는 사실을 이용한 것이다.
( U + V ) * W
= { u + v | u in U, v in V } * W
= { (u + v) * w | u in U, v in V, w in W }
= { u * w + v * w | u in U, v in V, w in W } ( u, v, w 는 유리수로 분배법칙이 성립되기 때문에 )
= { u * w | u in U, w in W } + { v * w | v in V, w in W }
= U * W + V * W
[ 추가사항 ]
유리수의 분배법칙을 이용해 실수의 분배법칙을 증명하였는데, 해석학 책을 보면,
유리수를 정수를 통해 정의한후 정수의 성질을 이용해 유리수의 여러 법칙을 증명하고,
정수를 자연수를 통해 정의한후 자연수의 성질을 이용해 유리수의 여러 법칙을 증명하고,
자연수의 여러 법칙은 Peano’s axioms(페아노 공리) 를 통해 증명한다.
즉, 위 과정은 이러한 흐름의 연장선에 있다고 볼수 있다.
