우선 원글을 다시 읽어보면 너가 처음에 주장한 건 ‘생성소멸연산자가 같으니까 파동함수도 같을 것이다’였고, 이건 틀렸다는 걸 너도 납득했다고 이해할게. 

먼저, ‘생성소멸연산자가 같다’라는 걸 정의할 필요가 있음. 행렬역학적으로 생각하면, 우선 기저를 정해서(예를 들면 수연산자의 기저 |n>) 모든 n, n’에 대해 <n’|a_hat|n>의 값이 동일한 경우를 ‘같다’라고 정의하면, 이건 어떤 포텐셜이던 상관없이 당연히 같음. 그러니까 비교해야 되는 건 기저 쪽이고, 이 기저도 마찬가지로 그 자체로는 어느 포텐셜이든 똑같음. 애초에 그렇게 정의되어 있으니까. 즉 변위를 변수로 가지는 포텐셜의 영향을 비교하려면, 기저의 변위표현을 비교해야 되고, 이건 완전성정리에 의해 기저변환을 통해 얼마든지 변위표현된 파동함수의 선형결합으로 나타낼 수 있음. 즉 생성소멸연산자를 굳이 비교해야 한다면, 파동함수의 변위표현을 비교하면 됨.

당연히 적용할 수 없지. 왜냐하면 퍼텐셜이 x^2형태가 아니니까.

0과 a사이는 x^2형태가 맞다고 주장할 수 있지만 이건 우리가 조화진동자를 배우는 이유와 관련되어있음. 
우리가 조화진동자를 배우는 이유는 풀기 어려운(x^4 형태거나 sin(x) 형태 등등..) 임의의 퍼텐셜의 극소점 주변만을 x^2형태의 풀기 쉬운 형태로 근사해서 풀기 위해서임. 그런데 이런 근사의 주의점은 극소점 주변에서 작은 변위로 진동하는 경우만을 알 수 있으며, 근사하는 영역과 외부 영역 사이의 연속성은 무시한다는거임. 

니가 생각하는 문제도 0과 a사이의 영역과 외부영역 사이의 연속성을 무시한다면 사다리 연산자로 문제를 풀 수 있음. 아니면 풀고싶은 영역을 0과 a사이보다 더 줄이던가.
그런데 외부영역과의 연속성을 고려한다면 더 이상 사다리 연산자를 적용할 수 없음. 사다리 연산자는 x^2형태의 퍼텐셜이 주어졌을때 적용하는 방법이지 다른 경우는 쓸 수 없으니까. 넌 지금 퍼텐셜이 x^20형태인데 거기다가 사다리 연산자를 이용한 방법을 적용하려고 애쓰고 있는거나 마찬가지임.