Lemma 1 : 제곱수가 아닌 두 양의 정수 b, c에 대해, √a+√b는 무리수이다.
pf of Lemma 1) √a+√b=p를 유리수라고 하자. 그러면, √a=p-√b이고, 양변을 제곱하면, a=p^2+b-2p√b, √b=(p^2-a+b)/2p인데, b는 제곱수가 아닌 양의 정수이므로 √b는 무리수이고, 우변은 유리수이므로 모순이다. 따라서 √a+√b는 무리수이다.
Lemma 2 : 제곱수가 아닌 세 양의 정수 a, b, c에 대해, √a+√b+√c는 무리수이다 .
pf of Lemma 2) √a+√b+√c=p를 유리수라고 하자. 그러면, p는 0이 아니고, √a+√b=p-√c 이고, 양변을 제곱하면 a+b+2√ab=p^2-2p√c+c이다. 그러면, a+b-c-p^2=2√ab-2p√c=√4ab - √4cp^2 이다. 하지만, 4ab와 4cp^2은 제곱수가 아니므로, Lemma 1에 의해 우변은 무리수이다. 하지만, 좌변은 유리수이므로 모순이다. 따라서 √a+√b+√c는 무리수이다.
claim : √2+√3+√5+√7 는 무리수이다.
pf of claim) (√2+√3+√5+√7)를 유리수라고 하자.
그러면, -475346565*(√2+√3+√5+√7)-113833327*(√2+√3+√5+√7)^3+20389590*(√2+√3+√5+√7)^5-1109014*(√2+√3+√5+√7)^7+24815*(√2+√3+√5+√7)^9-187*(√2+√3+√5+√7)^11=33126400√42+71229440√70+74840320√105 이다. 이때, 가정에 의해 좌변은 유리수여야 하지만, Lemma 2에 의해, 우변은 무리수여야 하므로 모순이다. 따라서 √2+√3+√5+√7는 무리수이다.
(저거 식 찾느라 한나절 이상 걸린 듯.)
