바나흐-타르스키 역설이 사실은 선택 공리를 채택함으로써 발생하는 건데, 

이를 통해 수학자들 사이에서는 선택 공리가 틀린 것일까, 우리가 인식하는 개념(여기서는 부피나 넓이) 자체가 잘못된 것일까 하다가, 

역시 신비로운 수학자들은   (우리가 알고 있는 개념이 잘못된 것이다!) 라는 결론에 이르고, 우리가 기존에 알고 있는 측도의 수학적 엄밀성을 구축할 필요성을 강력히 나타내 주게 된 것이죠. 

즉, 넓이가 정확히 무엇이고, 길이가 수학적으로 정확히 무엇이냐?  는 것이죠.

참고로 저 바나흐-타르스키 역설을 실제로 구축하는 과정은 대학교 1학년 수학과 학생이 이해하기에는 꽤 난이도가 있습니다. (적어도 2~3학년 정도는 되어야 이해하기 수월한 난이도.)

그렇게 해서 나온 것이, 르베그 측도라는 것입니다. 

그리고 임의의 도형에 넓이나 길이가 존재(무한인 경우도 존재하는 걸로 봄.)하는 게 아니라, 

그러한 측도(넓이, 길이, 부피 등)가 정의되는 도형이 있고 그렇지 않은 도형도 있을 수 있다는 결론에 이릅니다. 

그리고 그렇게 측도가 잘 정의되는 녀석들끼리는 우리가 아는 상식적인 개념들 (도형 A와 도형 B가 겹치는 부분이 없으면, AUB 의 넓이는 A의 넓이+B의 넓이  같은 것들.)이 잘 적용이 됩니다.

르베그 척도와 관련해서 처음 보는 사람에게 신기하게 다가올 수 있는 르베그 척도 관련한 내용 중 하나는,

(유리수 집합 Q에 길이를 줄 수 있고, 그 집합 Q의 길이는 0이다.) 정도가 있겠습니다.