위에 글에 물어보는사람 있길래 설명충 등판함. 기본적인 미적분만 안다고 가정하고 풀었음.
먼저 뉴턴법칙과 훅의 법칙을 결합해서
(1)
이렇게 생긴 미분방정식을 얻을 수 있음. 이제 이걸 풀건데 먼저 상수들 걸리적거리니까 한쪽으로 모음.
(2)
그러고서 임시로 변수 하나를 지정할거임
(3)
즉 x가 위치라면 y는 속도임. 보통 v로 쓰는데 어차피 나중에 없어질꺼라 뭘로 쓰던 상관없음. 그럼 이제
(4)
라는 식이 성립함. 여기서 좌변에 미분 연쇄법칙을 적용해서
(5)
라고 쓸 수 있음. 근데 아까 (3)에서 dx/dt는 y라고 쓰기로 했음. 따라서 이 식을
(6)
로 다시 쓸 수 있음. 이제 양변에 x에 대한 적분을 걸어주면
(7)
가 됨. 일단 좌변부터 풀겠음. 좌변에는 부분적분을 할건데, x에 대한 임의의 함수 u와 v의 곱을 미분할때 곱셈법칙에 의해서
(8)
가 되는데, 이걸 다시쓰면
(9)
그리고 여기에 적분을 때리면
(10)
라는 식이 나옴. 자, 이제 다음과 같은 치환을 하겠음.
(11)
그러면 (7)의 좌변에 있는 적분을
(12)
로 쓸 수 있음. 근데 좌변항이랑 우변의 두번째항이랑 똑같네? 그럼 한쪽으로 모아서
(13)
그리고 (7)의 우변에 있는 적분을 풀면
(14)
(13)과 (14)의 결과를 하나로 모으면
(15)
따라서
(16)
근데 (3)에서 y는 dx/dt랑 같다고 했음. 그러니까
(17)
로 바꿔 쓸 수 있음. 이제부턴 y 없이 x로만 풀거임. 먼저 우변의 x를 왼쪽으로 옮기고
(18)
적분을 하면
(19)
우변은 간단한데 좌변에 골치아프게 생긴놈이 있음. 저걸 해결하기 위해서 먼저 임의의 함수 f(x,t)를 시간미분하고 연쇄법칙을 이용할거임.
(20)
(20)의 우변이랑 (19)의 함수를 비교해봤을때,
(21)
(22)
그래서 f = ln(x)일때 (20)의 좌변을 (19)의 적분에 밀어넣을 수 있음. 그럼
(23)
이렇게 되는데, 좌변은 그냥 f를 미분하고 적분한거니까 그대로 f임. 참고로 지금까지는 안중요해서 무시했는데 여기서는 적분상수를 넣어줘야됨.
(24)
c를 우변으로 옮기고, 좌변에 있는 로그를 지우면
(25)
+, -가 서로 독립적인 해를 만들기때문에 일반해는 저 둘의 선형조합이어야됨. 따라서
(26)
가 됨 (ω^2 = k/m). 자연상수의 지수로 표현한 일반해가 익숙하지 않다면 오일러 공식
(27)
를 이용해서 삼각함수꼴로 바꿀 수 있음. (27)에 나온 방법 그대로 (26)을 다시 쓰면
(28)
초기조건에 따라서 단순조화운동이 코사인이면 (k1 -k2) = 0, 사인이면 (k1 + k2) = 0, 초기조건이 최대 진폭도 아니고 최소 진폭도 아닌 중간 어딘가에서 시작하면 arctan(k1 - k2)/(k1 + k2) = δ인 값을 찾으면 됨.
