풀이.

먼저 중요한건 이 문제는 자유 입자 파동함수의 산란 문제임. Infinite potential well이면 왼쪽 오른쪽에 V=+∞라고 써있는 수직 축이 있어야되는데 없음. 그러니까 언뜻 보고 infinite potential well 문제구나 하고 풀려고 하면 함정카드에 당한거임.

그리고 두번째로 중요한건 파동이 입사하는 방향이 왼쪽에서 오른쪽으로 온다는거임. 나중에 풀이과정에서 필요한거라 기억해둬야함.

본격적으로 풀이를 시작하는데, 가장 먼저 해야할일은 각 구간별로 해밀토니안을 풀어야됨. V=0인 구간부터 왼->오른쪽으로 1,2,3구간이라고 명명하고 TISE를 적어보면

이렇게 세개의 식이 나옴. 근데 관측 위치 x에 상관없이 에너지의 총합은 3V_0임. 그렇다면

요렇게 3개의 푸아송 방정식으로 정리가됨. 딱 보면 감이 오겠지만 이 방정식들의 해는 매우 단순한 지수함수임.

여기서 k1, k2, k3은 각각

인데 \frac\sqrt 여러번 쓰기 번거로우니까 계속 k1 k2 k3으로 두고 풀이할거임. 아무튼 맨처음에 파동의 입사 방향이 왼->오른쪽이라고 했던걸 써먹을 때가 온거임. 입자가 왼쪽에서만 오니까 당연히 x=+∞ 방향에서 오는 입자는 하나도 없음. 그러니까 G=0임. 이걸 모르면 문제를 마무리지을수 없기 때문에 꼭 기억해둬야함.

어쨌든 이제 본격적으로 Boundary matching을 시도할 때가 됐음. 물리적인 조건상 파동함수와 파동함수의 1계 미분은 파동함수가 정의된 모든 구간에서 연속임. 왜인지는 기억 안나니까 그리피스한테 물어봐라. 어쨌든 이 조건을 각 interface에 대입하면

요렇게 각 interface마다 연립방정식이 나옴. 먼저 x = d쪽 방정식을 풀어보면

여기모두 으른덜이니까 연립방정식쯤은 풀 수 있을거라 생각해서 자세한 과정은 생략함. 이제 이 C, D를 가지고 x=0의 연립방정식을 풀면

어휴 더럽게 길다

마지막으로, 좌측에서 들어오는 물질파의 진폭 A가 쭉 통과해서 들어가는 파동 F와 반사돼서 되돌아가는 파동 B의 합이라고 했을때, 즉 Incident wave = Transmitted wave + Reflected wave일때, 통과율 T와 반사율 R은 각각

저 위에 T 계산할때 k3/k1이 붙어있는데 sqrt((E-V_3)/(E-V_1)), 즉 운동에너지 기대값의 비율임. 왜 붙어있는지는 모르겠는데 그리피스에서 통과율 구할때 이걸 곱하길래 따라함. 고전물리에서 파동의 반사/통과율을 정하는 프레넬 공식에도 양쪽 물질의 굴절률의 비율이 곱해지는데 비슷한 원리인것같음. 이거 왜 붙이는지 구체적으로 설명 가능한 분은 댓글부탁함. 

마지막으로 확인차 T + R = 1이 나오는지 봐야되는데, 둘을 더해서 정리해보면

우리가 기대한 결과가 나옴. 다행이다

이제 A, B, C, D, F 다섯개중 한개라도 주어지면 나머지를 모두 구할수 있음. 보통 알 수 있는 값은 Incident wave intensity, 즉 A값이 주어짐 (particle beam sourc가 뭐냐에 달려있으니까)

내용추가:

댓글에 누가 산란행렬곱 풀면 되는거 아니냐고 하길래 약간 내용추가함.

일단 위에서 경계조건을 이용해 얻은 두개의 연립방정식을 행렬로 치환하면

이런 형태로 표현할수 있음. 그럼 당연히 윗줄의 좌변의 {{C}, {D}}를 아랫줄의 좌변으로 치환해서

이렇게 행렬곱으로 정리할 수 있음. 이렇게 푸는거나 연립방정식 해 구하고 치환해서 두번째 연립방정식 푸는거나 결과는 똑같음